Opérations sur les Distributions et Applications

Abstract

La recherche des solutions calssique des équations différentielles est apparue trop res- trictive au début 20ème sciècle plus précisément la notion de solution faible, introduite vers 1930 par J.Leray et L. Sobolev, afin d’y inclure des objets plus singuliers. La théo- rie des distributions fut formalisée par le mathématicien français laurent Schwartz entre 1944 et 1950 et lui valut la médaille Fields en 1950 comme la plupart de grandes décou- vertes scientifiques. Les distributions sont des objets qui généralisent les fonctions localement intégrables et n lesmesures de Radon sur R : L’un des intérètes principaux de la théorie des distributions est de permettre la construction d’un calcul différentiel qui prolonge le calcul différentiel ordinaire et pour lequel toute distribution est indéfiniment dérivable. Cette théorie est devenue un outil essentiel, notament dans l’étude des équations aux dérivées partielles. Elle a aussi permis une modernisation mathématique pour de nombreux phénomènes physiques. L’idée de base de la théorie des distributions est de définir les distributions par leurs action sur un espace des fonctions appelées ”fonction test”. On peut noter que cette idée apparait déjà dans la définition de mesure et en particulier dans la définition desmesures de Radon. Cemémoire est constitué de quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré à présenter des notions de base et des généralités ac- compagner par desexemples. Dans chapitre deux nous nous sommes intéressé au différentes opérations sur les distri- butions notement le produit. On a abordé au troisième chapitre le produit de convolution des distributions. Dans le dernier chapitre on a présenté des applications aux EDP à coefficients constant (équa- tion de la chaleur, des ondes et de laplace).