Équations Différentielles Ordinaires

Abstract

Le présent document est essentiellement centré sur le thème des équations différentielles ordinaires lesquelles sont des équations différentielles dont la fonction inconnue ne dépend que d’une seule variable. Plus simplement, une équation différentielle ordinaire, notée par EDO, est une équation qui se présente sous forme d’une relation entre une fonction inconnue d’une seule variable et de ses dérivées. Lorsque nous possédons plusieurs relations entre des fonctions inconnues dépendant de la même variable et de leurs dérivées nous parlerons, alors, d’un système d’équations différentielles ordinaires ou plus simplement d’un système différentiel. Les équations différentielles ordinaires et les systèmes différentiels représentent un sujet d’étude d’une grande importance à la fois en mathématiques pures et appliquées. En effet, en mathématiques pures, l’objectif principal de la théorie des équations différentielles ordinaires est d’établir des résultats purement théoriques qui permettaient de trouver des résultats sur les solutions ¡ existence, unicité, stabilité, ¢ ¢ ¢ ¢ sans les connaître explicitement vu que la résolution explicite de la plupart des EDO reste encore un problème ouvert. Tandis qu’en mathématiques appliquées, les équations différentielles ordinaires sont utilisées pour modéliser des phénomènes et des processus comme des problèmes d’évolution physiques, biologiques ou encore dans la dynamique des populations. Ce polycopié, consacré aux équations différentielles ordinaires, destiné aux étudiants ayant fait dans leur cursus les matières : Analyse, Algèbre et Topologie, a pour objectif, dans un premier temps, de comprendre la méthodologie de la résolution des différents types d’équations différentielles ordinaires et de les résoudre par la suite, puis, d’illustrer la méthodologie de résolution des systèmes différentiels linéaires et de présenter, en dernier, une introduction sur quelques notions de stabilité des équations différentielles ordinaires et des systèmes différentiels. C’est pour ces raisons et bien d’autres que chaque chapitre est constitué d’une part de notes de cours, et d’autre part des exercices et des problèmes d’applications suivis de leurs corrigés. Les deux parties sont d’une égale importance. En effet, les notes de cours sont volontairement rédigées dans un style très simple et clair, mais assez théorique suivie par des exemples illustratifs. À quelques exceptions prés, certains résultats sont accompagnés de leur preuve. Ensuite, la partie exercices et problèmes d’applications présente les différents cas possibles que nous pouvons rencontrer et traiter. Dans ce sens, ce manuscrit est organisé en cinq chapitres comme suit : ² Le premier chapitre regroupe les différentes notions et définitions élémentaires aident à la compréhension des différentes parties présentées le long de ce polycopié. Un certain nombre d’outils permettant de comprendre l’allure des solutions des équations différentielles ordinaires seront présentés dans ce chapitre et illustrés par des exemples. La dernière partie de ce chapitre se focalise sur l’un des principaux résultats des équations différentielles ordinaires, il s’agit du théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz. ² Ce second chapitre présente spécifiquement les différentes techniques qui permettent Avant-propos la résolution des différents types des équations différentielles ordinaires d’ordre 1. Les problèmes à une condition initiale feront également partie de ce chapitre où deux différentes méthodes de résolution seront proposées. ² Quant au troisième chapitre, nous y présentons les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires d’ordre 2 linéaire ou pas, à coefficients constants ou non avec ou sans conditions initiales. ² Le quatrième chapitre est consacré à l’étude et à la résolution des équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur à 2. Le cas où les EDO sont associés à des conditions initiales est, aussi, traité dans ce chapitre. ² Le cinquième et dernier chapitre se focalise sur la résolution des systèmes différentiels avec ou sans conditions initiales et aussi sur la réduction de l’ordre de certain EDO d’ordre supérieur à 1. Quelques notions sur la théorie de la stabilité au sens de Liapounov sont, aussi, introduite dans ce chapitre. Le présent document comprend, également, une bibliographie où les différents ouvrages utilisés pour l’élaboration de ce produit sont présentés, suivi par un index des notations lequel clôture ce polycopié.