Algèbre

Abstract

Le cours que nous présentons ici s’adresse aux étudiants de la première année licence mathématiques et informatique LMD, aux étudiants de certains écoles supérieures ainsi qu’aux étudiants des classes préparatoires en sciences et Technologie. Il regroupe les notions de base du programme de l’Algèbre. Ce polycopié est inspiré du cours que j’ai réalisé durant les années 2005-2011 au sein du département de tronc commun SETI et du cours qui a été réalisé par M.Medeghri Ahmed au sein du département deMathématiques et Informatique à l’université Abdelhamid Ibn Badis. L’objectif de ce polycopié est présenter les points essentiels permettant à l’étudiant de comprendre certaines parties du cours magistral pour aborder efficacement les exercices proposés dans les séances de travaux dirigés. Il a aussi pour but de l’aider, par la pratique de l’Algèbre à mieux aborder les notions nouvelles lors leurs première année de premier cycle. Le polycopié s’articule autour de cinq chapitres. À la fin de chaque chapitre, on pourra trouver une série d’exercices corrigés et d’autres proposés. Le premier chapitre est consacré aux notions de bases de la logique : proposition logique, connecteurs logiques, quantificateurs. Nous donnons par la suite quelques méthodes de démonstration avec quelques exemples illustratifs. Le deuxième chapitre traite les notions suivantes : les ensembles, opérations sur un ensemble, les applications, image directe et image réciproque d’un ensemble par une application. Dans le troisième chapitre, nous définissons les deux types des relations binaires : relation d’équivalence et relation d’ordre, classes d’équivalences, ensemble quotient. Ce chapitre est aussi illustré par des exemples. Nous définissons dans le chapitre quatre les structures algébriques que l’on rencontre dans presque toutes les branches des mathématiques. En particulier, nous définissons la structure de corps qui est la base dans la définition d’un espace vectoriel. Nous commencerons par donner la définition d’un groupe qui est utilisée dans plusieurs autres structures algébriques. Nous étudions dans le dernier chapitre l’ensemble des polynômes sur un corps K et nous montrons qu’ils ont plusieurs propriétés qui sont analogues aux propriétés des entiers relatifs. À la fin de ce manuscrit, nous présentons quelques références de bases classiques et récentes et que le lecteur ou l’étudiant pourra aisément consulter.