Contrôlabilité des systèmes bilinéaires distribués

Abstract

Toute étude concernant l’analyse d’un système dynamique est généralement suivie d’une étape de contrôle, qui consiste à déterminer une commande qui permet de conduire le système étudié à un certain objectif, à titre d’exemple, la possibilité d’amener un système d’un état initial à un état désiré ou à ses voisinages à un instant fini T . Ce qui définit respectivement la notion de contrôlabilité exacte ou approchée. Pour T =Γ+∞, on obtient la notion de contrôlabilité asymptotique qui coóncide avec la stabilisabilité lorsque la cible est un point d’équilibre. Dans le cas des systèmes linéaires, les problèmes de contrôlabilité et de stabilisabilité ont été largement étudiés et une théorie complète est maintenant disponible dans la littérature . Pour les systèmes linéaires de dimensions finies, la contrôlabilité a été caractérisée par une condition de rang qui porte sur la dynamique et l’opérateur de contrôle. Cette condition algébrique admet des extensions au cas de dimension infinie avec une version temporelle faisant intervenir l’opérateur de contrôle, ainsi que le semi-groupe engendré par la dynamique du système. Dans [13], Khapalov considère le problème de contrôlabilité approchée pour l’équation de diffusion par des contrôles bilinéaires sous une condition de signe reliant l’état initial et l’état désiré. Dans [14][18], Ping Lin et al ont considéré le problème de contrôlabilité exacte des systèmes paraboliques pour certains états désirés. Dans [17], Khapalov a exhibé une classe d’états désirés pour l’équation d’onde qu’il est possible d’atteindre approximativement par des contrôles bilinéaires dans le cas monodimensionnel. Récemment, Ouzahra [19] a donné une extension au cas multidimensionnel pour une équation d’onde avec amortissement. Au début des années 90, et avec des motivations liées aux applications réelles. El Jai et Zerrik [15][16] ont introduit la notion d’analyse régionale, il s’agit là d’analyser et de contrôler un système défini sur un domaine géométrique Ω. Dans le but de réaliser un objectif sur une région donnée w de Ω. Un nouvel axe de recherche est alors ouvert, et l’analyse des systèmes distribués peut alors être traité autrement. Les notions usuelles de contrôlabilité et d’observabilité ont été reconsidérées avec un autre point de vue, en effet si on considère une région w ⊂−Ω, la contrôlabilité régionale sur ΩΓconsiste à conduire le système considéré de son état initial vers un état désiré sur w [20]. L’observabilité régionale, consiste à étudier la possibilité de reconstruire l’état du système observé, sur une région donnée. La notion de stabilité régionale permet d’étudier le comportement asymptotique d’un système distribué dans une région privilégiée w ⊂−Ω. Ce mémoire est constitué de 3Γchapitres Dans le premier chapitre on donne des rappels sur les espaces fonctionnels nécessaire à l’étude des equations aux dérivés partielles, existence, unicité et régularité de la solution, p par exemple, les espace L et les espaces de sobolev. On donne aussi un rappel sur les opérateurs non bornés et leurs adjoints, en particuliers les opérateurs qui génèrent des semi-groupes. Quelques rappels des équations " aux dérivées partièles " d’évolution. non homogènes. Le chapitre deux est consacré à l’étude de la contrôlabilité des systèmes linéaires, par exemple l’équation de la chaleur et l’équation des ondes. En fin dans le troisième chapitre on donne une introduction à l’études des systèmes bilinéaires, en particulier la contrôlabilité exacte et approchée de l’equation biléniaire de la chaleur ∂y(t)Γ  =Γ∆y(t)Γ+Γp(x, t)y(t), dansΓQ   T   ∂t y =Γg, dansΓΣΓ T     y(x, 0)Γ=Γy , dansΓΩ, 0Γ Ainsi que la contrôlabilité approchée de l’equation bilinéaire des ondes.  y (x, t)Γ=Γy (x, t)Γ+Γp(x, t)y(x, t)Γ−−ϑ(t)y (x, t), dansΓΩΓ×−(0, T)Γ  tt xx t   (0.1) y(0, t)Γ=Γy(1, t)Γ=Γ0, surΓ(0, T)Γ    y(x, 0)Γ=Γy , y (x, 0)Γ=Γy dansΓΩ. 0