Réduction des endomorphismes: Cours et Exercices corrigés

Abstract

Ce modeste travail est un document élémentaire d’algèbre, il est destiné aux étudiants de la deuxième année mathématiques et informatique LMD, ainsi qu’aux étudiants des écoles supérieurs ayant fait dans leurs cursus la matière d’algèbre linéaire. Son objectif est de présenter les notions de bases permettant à l’étudiant de maitriser et manipuler les déférentes méthodes de la réduction des endomorphismes définis sur un espace vectoriel ainsi que leurs matrices associés. Il a aussi pour but de savoir comment des méthodes d’algèbre permettent la résolution des problèmes d’analyse. Le polycopié est organisé en quatre chapitres. A la fin de chaque chapitre, nous avons inclure des exercices corrigés et d’autres proposés. Le premier chapitre est consacré aux notions de base de l’anneau des polynômes sur un corps K et ses propriétés qui sont analogues aux propriétés des entiers relatifs. Le deuxième chapitre présente spécifiquement les éléments propres d’un endomorphisme d’un espace vectoriel : vecteurs propres, valeurs propres, polynôme caractéristique, sous espaces propres en passant par les différentes applications du célèbre théorème du Cayley-Hamilton. Dans le troisième chapitre, nous traitons la réduction des endomorphismes, c’est la notion qui est applicable pour les matrices en considérant les endomorphismes associés. En basant sur les notions données dans le second chapitre, nous présenterons les différents types de la réduction des endomorphismes, en commençant par la diagonalisation, en- suite la trigonalisation sans oublier la réduction du Jordan. Dans le dernier chapitre, nous présentons les différentes applications de la réduction des endomorphismes (ou bien des matrices) au calcul des puissances d’une matrice, exponentielle d’une matrice et aux systèmes d’équations linéaires à coefficients constants. Ce manuscrit comprends, également, quelques références de base classiques et récentes utilisés durant la réalisation de ce travail. Le polycopié est inspiré du cours d’algèbre 3 que j’ai enseigné aux étudiants de la deuxième année mathématiques LMD au sein du département de Mathématiques et Informatique à l’université Abdelhamid Ibn Badis.