Simulation numérique par les ondelettes des modèles fractionnaires en épidémiologie

Abstract

L’épidémie est l’étude de la propagation des maladies chez les êtres vivants et les facteurs qui l’influencent. Elle vise à la compréhension des causes des maladies et à l’amélioration de leurs traitements. L’apport des mathématiques se fait alors en premier temps par le biais de la modélisation et donc l’épidémiologie de l’obésité un des nouveaux domaine de spécialisation qui est de progrès rapide dans la recherche sur l’obésité. On s’intéresse à l’étude à l’étude de la modélisation de l’obésité car elle est devenue un problème de santé publique parmi les plus importants à l’heure actuelle. L’obésité est devenue la première maladie non infectieuse de l’histoire c’est une véritable épidémie qui frappe aussi bien les pays industrialisés que les pays en voie de développements. Nos deux contributions consiste à la proposition d’un modèle fractionnaire qui décrit la dynamique de la population des obèses et un modèle classique qui décrit les complications générées par l’obésité. On termine par une étude de stabilité du deuxième modèle proposé, on calcule les points d’équilibres, on linéarise le système au voisinage de ces points et on discute le signe des valeurs propres de la matrice Jacobienne. Dans cette thèse, on développe une nouvelle approche de résolution qui consiste en une combinaison de la méthode des ondelettes de Legendre avec la technique de découplage et quasi-linéarisation dans le but de résoudre un système non linéaire d’équations différentielles d’ordre fractionnaire. Cette approche réduit le système d’équations différentielles d’ordre fractionnaire à un système d’équations algébriques. Cependant, notre technique est très efficace, robuste et donne de très bons résultats, en particulier pour notre système de l’obésité et ses complications.

Afin de valider notre modèle, on applique la méthode proposée pour le modèle fractionnaire de l’obésité. On termine par une étude numérique du comportement du modèle des complications de l’obésité. ************************************************** The epidemic is the study of the spread of diseases in living beings and the factors that influence it. It aims at understanding the causes of diseases and at improving their treatments and means of prevention. The contribution of mathematics is then made first through modeling and thus the epidemiology of obesity one of the new area of specialization that is rapid progress in research on obesity. There is interest in studying the study of obesity modeling as it has become one of the most important public health problems at present. Obesity has become the first non-infectious disease in history is a true epidemic that strikes both industrialized countries and developing countries. Our two contributions consist of the proposition of a fractional model that describes the population dynamics of the obese and a classic model that describes the complications generated by obesity. We conclude with a stability study of the second proposed model, we calculate the equilibrium points, we linearize the system in the neighborhood of these points and we discuss the sign of the eigenvalues of the Jacobian matrix. In this thesis, we develop a new approach of resolution which consists of a combination of the Legendre wavelet method with the decoupling and quasi-linearisation technique in order to solve a non linear system of fractional order differential equations. This approach reduces the system of fractional differential equations to a system of algebraic equations. However, our technique is very effective, robust and gives very good results, especially for our system of obesity and its complications.

In order to validate our model, we apply the proposed method for the fractional model of obesity. We end with a numerical study of the behavior of the obesity complications model. **************************************************************************** الوباء هو دراسة انتشار الأمراض في الكائنات الحية والعوامل التي تؤثر عليه. ويهدف إلى فهم أسباب الأمراض وتحسين علاجاتها ووسائل الوقاية منها. مساهمة الرياضيات هي المرة الأولى ثم من خلال النمذجة، وبالتالي وبائيات السمنة، مجالا جديدا للتخصص الذي هو التقدم السريع في مجال البحوث على السمنة. هناك اهتمام بدراسة نمذجة السمنة لأنها أصبحت واحدة من أهم المشاكل الصحية العامة في الوقت الحاضر. السمنة أصبحت أول مرض غير معد للقصة هو وباء حقيقي في البلدان الصناعية والبلدان في عملية التنمية. كلا المساهمات إلى اقتراح نموذج كسور وصف ديناميات السكان من السمنة والنموذج التقليدي واصفا المضاعفات الناتجة عن السمنة. وينتهي مع دراسة استقرار النموذج المقترح الثاني، نحسب وخطي النقاط توازن النظام في حي من هذه النقاط ومناقشة علامة على القيم الذاتية للمصفوفة مصفوفه جاكوبي. في هذا العمل، وضعنا نهجا القرار الجديد الذي يتكون من مزيج من طريقة يجيندر المويجات مع تقنية فصل وشبه الخطية من أجل حل نظام المعادلات التفاضلية غير الخطية من أجل كسور. هذا النهج يقلل من نظام المعادلات التفاضلية كسور إلى نظام المعادلات الجبرية. ومع ذلك، لدينا تقنية فعالة جدا وقوية ويعطي نتائج جيدة جدا، وخاصة بالنسبة لنظامنا من السمنة ومضاعفاته. من أجل التحقق من صحة نموذجنا، ونحن تطبيق الطريقة المقترحة لنموذج كسور من السمنة. ننتهي مع دراسة عددية لسلوك نموذج مضاعفات السمنة.