Etude des statistiques de l’exposent de Lyapunov dans les systèmes unidimensionnels désordonnés

Abstract

Au cours de ce travail, nous avons étudié la nature des états électroniques des systèmes désordonnés à une dimension. Pour cela, nous avons utilisé le modèle de Kronig-Penney et la technique de la matrice de transfert. En première lieu, nous avons étudié le comportement du coefficient de transmission et de l’exposant de Lyapunov pour les trois types de potentiel (barrière, puits et mixte) avec les deux modèles : modèle A (potentiel de pic δ) et modèle B (potentiel de largeur finie) pour voir l’effet du désordre et de l’énergie. Nous avons trouvé que le coefficient de transmission décroit exponentiellement avec la taille de système quelque soit le degré désordre et l’énergie en conséquence la transmission dans le potentiel en barrière est plus facile en comparaison avec celle du système de potentiel en puits. Nous avons aussi montré que l’exposant de Lyapunov augmente exponentiellement avec le degré du désordre avec une forte localisation pour les puits de potentiel. Nous avons constaté que le modèle B (potentiel de largeur finie) favorise la transmission en comparaison avec le modèle A (potentiel de pic δ) qui simule les interactions à courtes distances. En utilisant un autre type de désordre : le désordre spatial, nous avons montré la délocalisation des états électroniques (décroissance de l’exposent de Lyapunov) en présence du désordre. Dans le cas ordonné, nous avons confirmé le spectre d’énergie donnant les bandes permises séparées par la bande interdite. Dans un deuxième lieu, nous avons étudié les propriétés statistiques de l’exposant de Lyapunov pour voir les effets du désordre, de la taille du système et du type de potentiel. Nous avons confirmé la nature des états électroniques qui sont fortement localisés pour le potentiel en puits et faiblement localisés pour le potentiel en barrière. Nous avons ensuite étudié les statistiques de l’exposent de Lyapunov : sa moyenne, sa variance et sa distribution de probabilité. Nous avons confirmé le comportement général pour un isolant pour la distribution probabilité qui est gaussienne. Nous avons confirmé la théorie du simple paramètre d’échelle qui relie la variance de de l’exposent de Lyapunov et sa moyenne à la taille du système. Nous avons aussi montré que la variance de de l’exposent de Lyapunov γ augmente avec le degré du désordre indiquant la forte localisation des états électroniques. Cette variance décroit en puissance avec la taille du système en se comportant comme : 𝜎(𝛾)~𝐿−𝛽=1𝐿𝛽 Où l’exposent décroit avec l’énergie E de la particule et augmente avec le degré du désordre W.