Abstract:
Les conditions aux limites de Robin ont ´ e trait´
et´
es par plusieurs auteurs ce qui n’est pas
le cas des conditions aux limites non locales.
Dans ce travail on s’int´
eresse aux conditions aux limites non locales g´
en´eralis´
ees.
On fait une synth`
ese de l’article [1] Aissa Aibeche, Nasreddine Amroune et Stephane Main-
got, ”General Non Local Boundary Value problem for Second Order Elliptic Equation” ;
Mathematishe Nachrichten.2017.
L’ objectif ´etant l’´etude de probl`emes elliptiques avec des conditions aux limites non
locales g´en´eralis´
ees (car il s’agit des coefficients op´erateurs) dans des espaces de Banach
particuliers (les espaces U.M.D) :
00−
x ∈−(0, 1)
u (x) + Au(x) = f (x),
0−
αu (1) −−γHu(0) = d
(1)
0Γ
0−
βu (0) + δKu(1) = d ,
1Γ
o`u :
p
f ∈−L (0, 1; E); avec 1 < p < ∞−et E un espace de Banach complexe U.M.D.
∈−E.
d , d
0Γ1Γ
A, H etK sont des op´erateurs lin´eaires ferm´
es dans E.
α, β, γ et δ ∈−C, v´erifiant :
(2)
(α, γ) 6= (0, 0) (α, δ) 6= (0, 0)) (β, γ) 6= (0, 0)) et (β, δ) 6= (0, 0)
L’objectif est de trouver une solution stricte de ce probl`eme, c’est `a dire une fonction u telle
que :
2.p
p
u ∈−W (0, 1; E) ∩−L (0, 1;D(A))
Avec u v´erifiant :
u(0) ∈−D(H); u(1) ∈−D(K)
Et v´erifiant notre probl`eme.
On supposera l’hypoth`
ese d’ellipticit´
e suivante :
(
A est un op´erateur lin´eaire ferm´
e.
−1Γ
(3)
[0,+∞[ ⊃−ρ(A) et supkλ(A −−λI) k−
< ∞.
L(E)Γ
λ=0Γ
1
ese implique que −(−A)
g´en`
ere un semi-groupe analytique born´
e
On sait que cette hypoth`
2
dans E(voir [3])
On suppose aussi que :
is
∀−s ∈−R, (−A) ∈−L(E) et ∃−θ ∈]0, π[;
A
(4)
is
−θ |s|−
ke
(−A)
k−
< ∞.
telque : sup
A
L(E)Γ
s∈R
les op´erateurs H et K v´erifient :
0 ∈−ρ(H) ∩−ρ(K)
(5)
Et les conditions de commutativit´
e suivantes :
−1Γ−1Γ
−1Γ−1Γ
−1Γ−1Γ
−1Γ−1Γ
−1Γ−1Γ
−1Γ−1Γ
(6)
A H = H A , A K = K A et H K = K H
1
On pose : B = −(−A) et on consid`
ere l’op´erateur Π d´efinit par :
2
−1
−1
−1Γ
−1Γ
2
2Γ
D(Π) = D(B αβH K ) et Π = B αβH K −−γδI
Supposons que :
(7)
Π est inversible
On d´efinit l’op´erateur Λ par :
−1Γ
−1Γ
2B
2B
B
D(Λ) = D(Π(I −−e ) = D(Π),Λ = Π(I −−e ) + 2(αδH + γβK )Be
Et on suppose que :
(8)
Λ est inversible
Cet op´erateur Λ sera le d´eterminant de notre probl`eme. De tels probl`emes se posent dans
plusieurs ph´enom`enes physiques concrets. Par exemple ils apparaissent dans la th´eorie des
plasma (physique des plasmas), la th´eorie du processus de diffusion [[23],[24]], les transferts
de chaleur soumis `a une sp´ecification de masse, en ´
electrochimie [[5]-[7]] et ils apparaissent
´egalement dans l’interaction fluide-structure dans l’application de l’h´emodynamique[[20]].
Dans cette ´etude la nouveaut´
e est que nous consid´erons les deux conditions aux limites
a coefficients op´erateurs comme des conditions aux limites non locales. Des probl`emes si-
`
milaires avec les conditions locales de Robin ont ´ e examin´
et´
es, citons par exemples [[8],[9]].