Existence Globale de la Solution du système de Timoshenko non Linéaire en Présence d’un Terme de Retard

Abstract

BeaucoupΓdeΓph´enom`enesΓphysiquesΓsontΓmod´elis´esΓsousΓformeΓd’´equationsΓdiff´erentiellesΓ ouΓd’´equationsΓauxΓd´eriv´eesΓpartielles.ΓUnΓdeΓcesΓph´enom`enes,ΓlesΓvibrationsΓdesΓpoutresΓquiΓ pr´esententΓunΓint´erˆetΓconsid´erableΓpourΓlesΓing´enieurs.Γ CeΓm´emoireΓestΓconsacr´Γ eΓ`aΓl’´etudeΓdesΓprobl`emesΓconcernantΓlaΓstabilisationΓdeΓsyst`emesΓ vibrantsΓquiΓsontΓmod´elis´esΓparΓdesΓsyst`emesΓhyperbolique-paraboliqueΓouΓhyperbolique-Γ hyperbolique.Γ EnΓ1921,ΓTimoshenkoΓ[41]ΓaΓdonn´Γ eΓleΓsyst`emeΓd’´equationsΓhyperboliquesΓcoupl´eesΓsuivantΓ:Γ ( ρu (x, t)Γ=Γ(K(u −−ϕ))Γ dansΓ]0, L[×]0, +∞[Γ tt x x (1)Γ ˜ρϕ (x, t)Γ=Γ(EIϕ )Γ+ΓK(u −−ϕ)ΓdansΓ]0, L[×]0, +∞[, tt x x x avecΓlesΓdeuxΓconditionsΓauxΓlimitesΓdeΓlaΓformeΓsuivanteΓ:Γ

EIϕ (t, 0)Γ=ΓEIϕ(t, L)Γ=Γ0Γ x EI(u −−ϕ)(t, 0)Γ=ΓEI(u −−ϕ)(t, L)Γ=Γ0, x x quiΓestΓunΓmod`eleΓsimpleΓd´ecrivantΓlesΓvibrationsΓtransversalesΓd’uneΓpoutre.ΓIciΓt d´esigneΓ laΓvariableΓtempsΓetΓx estΓlaΓvariableΓd’espaceΓleΓlongΓduΓrayonΓdeΓlongueurΓL,Γu estΓleΓ d´eplacementΓtransversalΓdeΓlaΓpoutreΓetΓϕ estΓl’angleΓdeΓrotationΓduΓfilamentΓduΓfaisceau.ΓLesΓ coefficientsΓρ,Γ˜Γ ρ ,ΓE ,ΓI etΓK sontΓrespectivementΓlaΓdensit´Γ eΓ(laΓmasseΓparΓunit´Γ eΓdeΓlongueur),ΓleΓ momentΓd’inertieΓpolaireΓd’uneΓsection,ΓleΓmoduleΓd’´elasticit´Γ eΓdeΓYoung,ΓleΓmomentΓd’inertieΓ d’uneΓsectionΓtransversaleΓetΓleΓmoduleΓdeΓcisaillement.Γ DeΓnombreuxΓmath´ematiciensΓontΓ´etudi´Γ eΓceΓtypeΓdeΓprobl`emeΓapr`esΓavoirΓajout´Γ eΓcertainsΓ termesΓetΓconditionsΓpourΓprouverΓleursΓr´esultats.Γ KimΓetΓRenardyΓ[22]ΓontΓconsid´er´Γ eΓleΓsyst`emeΓ(1)ΓavecΓlesΓconditionsΓauxΓlimitesΓdeΓlaΓformeΓ:Γ ∂u ∂u   Kϕ(L, t)Γ−−K (L, t)Γ=Γα (L, t)Γ∀t ≥−0Γ  ∂x ∂t ∂ϕ ∂ϕ EI (L, t)Γ=Γ−β (L, t)Γ ∀t ≥−0,   ∂x ∂t IlsΓontΓ´etabliΓunΓr´esultatΓdeΓlaΓd´Γ ecroissanceΓdeΓlaΓfonctionΓdeΓl’´energieΓuniform´ementΓavecΓlaΓ m´ethodeΓdesΓmultiplicateurs.Γ