Mesure et Intégration

Abstract

Ce cours à destination des étudiants de troisième année licence Mathématiques LMD comporte la matière de Mesure et Intégration. Il contient l essentiel du cours avec des exemples et des exercices d applications sont proposés avec des solutions en n de chaque chapitre pour permettre à l étudiants de tester ses connaissances et de se préparer aux tests et aux examens naux. Ce polycopié est inspiré du cours qui a été fait par Mr Medeghri Ahmed et Bouziani Fatima durant les années 2012-2015 au sein du département de mathématiques à l université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem. D après ma petite expérience, lors de l enseignement de cette matière durant quelques années, j ai décidé de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à cette matière. Notons que le contenu de ce polycopié est exactement le même proposé dans l o¤re de formation o¢ ciel suivant le cannevas donné par le ministère appliqué actuellement dans tous les départements des Universitée Algériennes. Nous supposons que le lecteur a une bonne connaissances de la topologie usuelle de R, les premiers principes de la théorie des ensembles et le concept d intégration au sens de Riemann. Comme ce polycopié est un cours, nous avons pris le parti de démontrer presque tous les résultats d une façon complète, c est-à-dire sans renvoyer au cours de la preuve à un résultat bien connu ou en admettant un résultat auxiliaire di¢ cile. Nous avons d ailleurs inclus un nombre considérable d exercices résolus tels qu ils ont été testés dans le cadre de travaux dirigés, ou ont fait l objet de devoirs de re exion ou de contôle des connaissances. Il va de soi que le lecteur aura intérêt a essayer de résoudre le problème sans lire la solution au préalable. Les chapitres de ce polycopié se terminent par des exercices corrigés puisés dans les fonds des séries de T.D de l équipe pédagogique du département de Mathématiques de l Université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem. L originalité de ce polycopié réside dans son contenu, inspiré sans vergogne de la litérature existante. Venons-en à une description plus précise de ce que l on trouvera dans ce polycopié. Dans le premier chapitre, nous donnerons rapidement les propriétés utiles concernant les opérations sur les ensembles, la dénombrabilité, les limites d ensembles et les fonctions caractéristiques d ensembles. Nous présentons, par la suite la notion de tribu particulièrement la tribu borélienne. Nous o¤rirons une étude détaillée concernant la mesure positive, la mesure extérieure et en particulier la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens. Le second chapitre contient les propriétés générales des fonctions mesurables notament les applications numériques mesurables qui seront désignées par L0, nous étudierons la convergence presque partout et la convergence en mesure. Au troisième chapitre, nous aborderons et traiterons la notion d intégration par rap- port à une mesure positive. En premier lieu, nous ferons l étude pour les fonctions numériques mesurables et nous donnerons le Théorème de convergence monotone (ou de Beppo-Levi) et ses conséquences. Nous étudierons ensuite l intégrale d une fonction numérique mesurable et nous nirons par une comparisation de l intégrale de Lebesgue avec l intégrale de Riemann. En n, nous donnerons un aperçu général sur la construction de l espace L1 et le théorème de convergence dominée dans cet espace. 2 Nous consacrons dans le quatrième chapitre à l étude de la mesure produit, notamment les Théorèmes de Fubini et quelques applications. En n vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de cette matière, j ai constaté que la majorité des étudiants ne donnent pas l importance au cours et ils font des exercices en se basant directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire d abord le cours attentivement, de faire tous les exemples cités après chaque résultat donné et en n de passer à résoudre les exercices proposés sans retourner au corrigé. Les solutions des exercices sont utiles uniquement pour tester le niveau des éfforts fournis par l étudiant.