Algèbre I Cours et exercices

Abstract

L algèbre est une branche de mathématique intervenant dans tout autre fondement et théorie mathématique et aussi dans les sciences techniques et naturelles. Le Bagage algèbrique est indispensable pour tout scienti que, il permet de formuler des données , simpli er des pro- blèmes réels et les résoudre en utilisant des symboles et des caractères alphabétiques (pour les variables inconnues). Ce document est un support de cours d algèbre I. Il est principalement destiné aux étudiants de 1 ère année en licence mathématiques et informatique, aux étudiants de certaines écoles supérieures ainsi qu aux étudiants de certaines classes préparatoires. Il a été réalisé pendant la période dans laquelle j ai exercé ma charge pédagogique au sein du département de Ma- thématiques et informatique. J ai eu l immence honneur et un grand plaisir de travailler avec le Prof. Ahmed Medeghri et ce polycopié est essentiellement inspiré de son cours. Ce manuel est composé de cinq chapitres subdivisés en deux sections : des notions de cours suivis par une série d exercices corrigés. Le but de ce cours est de familiariser l étudiant avec de nouveaux outils algèbriques tout en lui rappellant les prérequis des années ultérieures, la bonne compréhension des notions de base de la théorie des ensembles et des structures algèbriques. Le lecteur désirant explorer plus en détails certaines notions du cours, pourra consulter la bibliographie fournie à la n du document. X La première partie de cet ouvrage est consacrée à la présentation des notions de logiques, la dé nition du calcul propositionnel, la formulation et le raisonnement mathématique. X Le deuxième chapitre est dédié à l algèbre ensembliste, portant sur la caractérisation et les opérations sur les ensembles, l image directe et réciproque d un ensemble par une application. X Dans le troisième chapitre, on dé nit deux types de relations binaires, à savoir une relation d équivalence et une relation d ordre. Appuyés par des exemples illustratifs, les notions de classes d équivalences, majorants, minorants, borne inférieure et suppérieure d un ensemble sont également abordées. X Le chapitre quatre traite une partie très importante et essentielle pour tout apprenant : les Structures algèbriques. En e¤et, cette section met en évidence les dé nitions et propriétés liées aux structures de : groupe, anneaux et corps. X L objectif du dernier chapitre est d enrichir les connaissances antérieures de l étudiant sur les polynômes, par de nouveaux concepts tels que la divisibilité dans un anneau, le pgcd et le ppcm de deux polynômes et l irréductibilité.