Étude d’un Problème auxLimites Non Local Général pour une Équation Elliptique du Second Ordre

Abstract

Les conditions aux limites de Robin ont ´ e trait´ et´ es par plusieurs auteurs ce qui n’est pas le cas des conditions aux limites non locales. Dans ce travail on s’intéresse aux conditions aux limites non locales généralisées. On fait une synthèse de l’article [1] Aissa Aibeche, Nasreddine Amroune et Stephane Main- got, ”General Non Local Boundary Value problem for Second Order Elliptic équation” ; Mathematishe Nachrichten.2017. L’ objectif étant l’étude de problèmes elliptiques avec des conditions aux limites non locales généralisées (car il s’agit des coefficients opérateurs) dans des espaces de Banach particuliers (les espaces U.M.D) :  00−x ∈−(0, 1) u (x) + Au(x) = f (x),  0−αu (1) −−γHu(0) = d (1) 0Γ 0−  βu (0) + δKu(1) = d ,  1Γ o`u : p f ∈−L (0, 1; E); avec 1 < p < ∞−et E un espace de Banach complexe U.M.D. ∈−E. d , d 0Γ1Γ A, H etK sont des op´erateurs lin´eaires ferm´ es dans E. α, β, γ et δ ∈−C, v´erifiant : (2) (α, γ) 6= (0, 0) (α, δ) 6= (0, 0)) (β, γ) 6= (0, 0)) et (β, δ) 6= (0, 0) L’objectif est de trouver une solution stricte de ce probl`eme, c’est `a dire une fonction u telle que : 2.p p u ∈−W (0, 1; E) ∩−L (0, 1;D(A)) Avec u v´erifiant : u(0) ∈−D(H); u(1) ∈−D(K) Et v´erifiant notre probl`eme. On supposera l’hypoth` ese d’ellipticit´ e suivante : ( A est un op´erateur lin´eaire ferm´ e. −1Γ (3) [0,+∞[ ⊃−ρ(A) et supkλ(A −−λI) k− < ∞. L(E)Γ λ=0Γ 1 ese implique que −(−A) g´en` ere un semi-groupe analytique born´ e On sait que cette hypoth` 2 dans E(voir [3]) On suppose aussi que : is  ∀−s ∈−R, (−A) ∈−L(E) et ∃−θ ∈]0, π[; A  (4) is −θ |s|− ke (−A) k− < ∞. telque : sup  A L(E)Γ s∈R les op´erateurs H et K v´erifient : 0 ∈−ρ(H) ∩−ρ(K) (5) Et les conditions de commutativit´ e suivantes : −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ (6) A H = H A , A K = K A et H K = K H 1 On pose : B = −(−A) et on consid` ere l’op´erateur Π d´efinit par : 2 −1 −1 −1Γ −1Γ 2 2Γ D(Π) = D(B αβH K ) et Π = B αβH K −−γδI Supposons que : (7) Π est inversible On d´efinit l’op´erateur Λ par : −1Γ −1Γ 2B 2B B D(Λ) = D(Π(I −−e ) = D(Π),Λ = Π(I −−e ) + 2(αδH + γβK )Be Et on suppose que : (8) Λ est inversible Cet op´erateur Λ sera le d´eterminant de notre probl`eme. De tels probl`emes se posent dans plusieurs ph´enom`enes physiques concrets. Par exemple ils apparaissent dans la th´eorie des plasma (physique des plasmas), la th´eorie du processus de diffusion [[23],[24]], les transferts de chaleur soumis `a une sp´ecification de masse, en ´ electrochimie [[5]-[7]] et ils apparaissent ´egalement dans l’interaction fluide-structure dans l’application de l’h´emodynamique[[20]]. Dans cette ´etude la nouveaut´ e est que nous consid´erons les deux conditions aux limites a coefficients op´erateurs comme des conditions aux limites non locales. Des probl`emes si- ` milaires avec les conditions locales de Robin ont ´ e examin´ et´ es, citons par exemples [[8],[9]]. Plusieurs chercheurs se sont pench´ es sur ces probl`emes, on trouvera une ´ etude approfondie des probl`emes ` a conditions aux limites non locales dans [[15],[23],[25]]. Ces travaux illustrent bien un regain d’int´ eret pour ces types de probl`emes. On utilise la th´eorie des semi-groupes et les puissances fractionnaires d’op´erateurs pour construire une repr´esentation de la solution ; Ce qui nous permet de trouver des r´esultats d’existence, d’unicit´ e et de r´egularit´ e de la solution. Ce m´emoire est compos´ e de cinq chapitres et il est organis´ e comme suit : Dans le premier chapitre on se propose de rappeler quelques lemmes techniques et on cite les outils math´ematiques utilis´ es pour aboutir aux r´esultats souhait´ es. Dans le deuxi`eme on donne des conditions n´ecessaires et suffisantes pour l’existence, l’uni- cit´ e et la r´egularit´ e de la solution obtenues en utilisant la th´eorie des sommes d’op´erateurs(Approche de DORE-VENI) ainsi que l’interpolation des espaces. Le troisi`eme chapitre concerne l’´etude du probl`eme pr´ ec´edent avec un param` etre spectral ; L’objectif ´etant d’´eliminer l’hypoth` ese d’inversibilit´ e du d´eterminant op´erationnel de notre probl`eme. Le quatri`eme chapitre est consacr´ e ` a la r´esolution de quelquess cas particuliers (Dirichlet, Neumann, ..) Dans le chapitre cinq ; Quelques applications aux EDP sont ´etudi´ ees.