Opérateur de Sturm-Liouville en calcul fractionnaire conformable

Abstract

Dans ce m´ emoire, nous avons dans un premier lieu introduit la notion de d´erivation α- conformable au sens de [6], donn´ e la d´efinition α-conformable du wronksian et ´etabli les ver- sions correspondantes de la formule d’abel ainsi que les m´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles α-conformables du second degr´ e. A ce titre, on note une analogie parfaite entre l’approche classique et l’approche α-conformable. Dans un second lieu nous avons d´efinie l’op´erateur de Sturm-Liouville α-conformable et montr´ e que comme pour la d´erivation usuelle, l’identit´ e de Lagrange ainsi que le caract` ere simple des valeurs propres ainsi que la formule du quotient de Rayleigh restent vraies. Pour les autres paropri´ es telles que caract` et´ ere r´ eel des valeurs propres ainsi que la α-orthogonalit´ e des fonctions propres, d’autres conditions sont n´ ecessaires. Dans notre cas, nous avons opt´ e pour la condition k est la fonction identiquement nulle ce qui a permis d’´etablir en utilisant 1 les m´ethodes variationnelles l’´equation d’Euler-Lagrange α-conforamble ensuite utilis´ ee pour prouver l’existence des valeurs propres existent et v´erifient les propri´ et´ es ´enonc´ ees auparavant. Les r´ esultats ainsi obtenus g´en´eralisent ceux de [5]. Comme possibles perspctives de d´eveloppement et d’approfondissement du pr´ esent m´emoire, nous pensons qu’il serait int´eressant d’examiner les questions suivantes: 1. Sous quelles conditions sur les fonctions k , p, q et r, la fonctionnelle J (voir formule 0 3.4.1) est-elle continue? Cette condition de continuit´ e a ´ e fondamentale pour l’existence et´ des valeurs propres (voir th´eor`eme 3.4.2). 2. Dans le cas g´en´eral o`u k n’est pas la fonction identiquement nulle, existe-t-il des valeurs 1 propres. Si oui sont -elles toutes r´eelles? 3. Possibilit´ e d’extension des r´esultats obtenus au cas multivariable en introduisant au pr´ealable les d´efinitions ad´equates.