Résumé:
Dans ce m´
emoire, nous avons dans un premier lieu introduit la notion de d´erivation α-
conformable au sens de [6], donn´
e la d´efinition α-conformable du wronksian et ´etabli les ver-
sions correspondantes de la formule d’abel ainsi que les m´ethodes de r´esolution des ´equations
diff´erentielles α-conformables du second degr´
e. A ce titre, on note une analogie parfaite entre
l’approche classique et l’approche α-conformable.
Dans un second lieu nous avons d´efinie l’op´erateur de Sturm-Liouville α-conformable et
montr´
e que comme pour la d´erivation usuelle, l’identit´
e de Lagrange ainsi que le caract`
ere
simple des valeurs propres ainsi que la formule du quotient de Rayleigh restent vraies. Pour
les autres paropri´ es telles que caract`
et´
ere r´
eel des valeurs propres ainsi que la α-orthogonalit´
e
des fonctions propres, d’autres conditions sont n´
ecessaires. Dans notre cas, nous avons opt´
e
pour la condition k est la fonction identiquement nulle ce qui a permis d’´etablir en utilisant
1
les m´ethodes variationnelles l’´equation d’Euler-Lagrange α-conforamble ensuite utilis´
ee pour
prouver l’existence des valeurs propres existent et v´erifient les propri´
et´
es ´enonc´
ees auparavant.
Les r´
esultats ainsi obtenus g´en´eralisent ceux de [5].
Comme possibles perspctives de d´eveloppement et d’approfondissement du pr´
esent m´emoire,
nous pensons qu’il serait int´eressant d’examiner les questions suivantes:
1. Sous quelles conditions sur les fonctions k , p, q et r, la fonctionnelle J (voir formule
0
3.4.1) est-elle continue? Cette condition de continuit´
e a ´ e fondamentale pour l’existence
et´
des valeurs propres (voir th´eor`eme 3.4.2).
2. Dans le cas g´en´eral o`u k n’est pas la fonction identiquement nulle, existe-t-il des valeurs
1
propres. Si oui sont -elles toutes r´eelles?
3. Possibilit´
e d’extension des r´esultats obtenus au cas multivariable en introduisant au
pr´ealable les d´efinitions ad´equates.
