Polycopié de Cours et TP de Méthodes Numériques

Abstract

La question qui se pose est :« Pourquoi Les Méthodes Numériques En Physique ? ».Les lois qui régissent les phénomènes physiques sont exprimées par des équations mathématiques (équations différentielles, équations intégrales, etc.). Etudier le phénomène consiste souvent à trouver les solutions analytiques à ces équations chaque fois que c’est possible. Malheureusement trouver une solution analytique exacte n’est pas toujours possible. Le physicien introduit des approximations indispensables à la résolution du problème sans autant réduire la généralité du phénomène. Si non il fait recours aux méthodes numériques qui deviennent l’unique issue. Les méthodes numériques sont toutes les techniques de calcul qui permettent de résoudre de manière exacte ou souvent approchée un problème donné. L’analyse numérique est une discipline des mathématiques qui s’intéresse à la mise en pratique de ces méthodes permettant ainsi de résoudre par le calcul purement numérique certains problèmes difficiles où impossible à résoudre. Analytiquement. Le calcul numérique est un ensemble de calculs qui sont réalisés sur un système informatique. Contrairement à la résolution exacte et analytique d’un problème où la solution est exempte d’erreurs, la résolution numérique conduit souvent à des solutions entachées d’erreurs provenant de 3 sources principales : a. Erreurs de Modélisation Modéliser un phénomène revient à produire un ensemble d’équation mathématiques qui le décrivent. Pour réussir à les résoudre il est souvent nécessaire d’introduire des approximations qui sont à l’origine des erreurs de modélisation. b. Erreurs de Représentation sur Ordinateur Le système binaire (base 2) est à la base de la représentation des nombres sur ordinateur. L’unite fondamentale de l’information est le bit qui peut prendre les valeurs 0 ou 1. Les données sont représentées dans la mémoire de l’ordinateur par des mots (case)un ensemble de n bits (8,16,32..) intervalle des nombres représentables est limité ce qui induit des erreurs d’arrondi. c. Erreurs de Troncature Ces erreurs sont dues à la représentation fini de processus infinie par exemple le développement de serie de Taylor des fonctions elementaires utilisé pour leur calcul. On est obligé de s’arreter à un certain ordre du développement.