EQUATIONS DIFFERENTIELLES ET SOLUTIONS ONDES VOYAGEUSES

Abstract

La d´ erivation fractionnaire est un th`eme de recherche ancien. Ses origines peuvent remonter `a l’´epoque o`u Newton et Leibniz ont d´evelopp´ e le calcul dif´ erentiel et int´egral. nΓ dΓ i`emeΓ Dans ce sens, Leibniz a pr´ esent´ e le symbole pour noter la nΓ d´ eriv´ ee. Quand il dtΓ l’a annonc´ e dans une lettre `a l’Hˆopital, ce dernier lui a r´epondu : nΓ dΓ 1Γ Que signife si nΓ=Γ?Γ dtΓ 2Γ Cette fameuse lettre de l’Hˆopital, ´ ecrite en 1695, est aujourd’hui vue comme un indice de ce que nous appelons la d´ erivation fractionnaire, et le fait que l’Hˆopital 1Γ a demand´ ecifquement pour nΓ=Γ e sp´ , c’est-`a-dire une fraction ( ou bien nombre 2Γ rationnel) a en fait donn´ e lieu au nom de cette th´eorie math´ematique ”fractionnaire”. Le calcul fractionnaire a ´ et´ e d´evelopp´ e s´ erieusement pour la premi` ere fois dans la conf´ erence de New Havan en 1974. Depuis, il a gagn´ e une consid´ eration tr` es importante grˆ ace aux nombreuses applications dans beaucoup de domaines des sciences appliqu´ ees. D’o`u la n´ eccissit´ e ici d’´ etablir au lecteur une th´ eorie claire pour l’´ etude des op´ era- teurs fractionnaires en g´ en´ eral et aussi pour les syst` emes d’ordre fractionnaire. L’objectif principal de ce m´emoire est l’´ etude d’une classe de probl`emes dif´ eren- tiels fractionnaires au sens de Caputo qui g´ en´ eralise un probl`eme inspir´ e de la physique, et aussi, l’´ etude des ”traveling waves”. Le cas d’ordre entier et celui d’ordre fraction- naire sont consid´ es. L’approche d´ er´ erivative de Khalil est aussi pr´esente dans cette i`emeΓ 2Γ ´ etude. La m´ ethode num´ erique ”Tanh” de Malfelt et Hereman est appliqu´ ee pour d´ eterminer les solutions ondes voyageuses. Pr´ esentation du m´ emoire : Ce m´emoire de Master se compose d’une Introduction, de trois Chapitres et d’une Conclusion. Le premier chapitre comporte quelques notions de bases ainsi que des d´efnitions qui nous serons utiles par la suite. Nous introduisons le calcul fractionnaire, la th´eorie des op´ erateurs, nous insistons ici en particulier sur les d´efnitions et les dif´ erentes propri´ es des int´egrales et des d´ et´ eriv´ ees fractionnaires au sens de Rieman-Liouville et de Caputo et aussi au sens de Khalil, et aussi la th´eorie des points fxes sera rappel´ ee dans ce chapitre. Le deuxi`eme chapitre est consacr´ e ` a l’´ etude de l’existence et l’unicit´ e de solutions pour le probl`eme dif´ erentiel fractionnaire suivant : ′′−  αΓ DΓu(x)Γ=ΓfΓ(x,Γu(x),Γv(x))Γ+ΓαΓu(x)Γ−−βΓuΓ(x)Γ 1Γ 1Γ 1Γ        DΓv(x)Γ=ΓfΓ(x,Γu(x),Γv(x))Γ+ΓαΓv(x)Γ−−βΓvΓ(x)Γ ′′− βΓ 2Γ 2Γ ′′− 2Γ ′′− u(0)Γ=Γu(1)Γ=ΓuΓ(0)Γ=ΓuΓ(1)Γ=Γ0Γ ′′− ′′−     v(0)Γ=Γv(1)Γ=ΓvΓ (0)Γ=ΓvΓ (1)Γ=Γ0Γ    xΓ∈−[0,Γ1]Γ;Γ3Γ<Γα,ΓβΓ<Γ4.Γ Nous commen¸cons par pr´ esenter la solution int´egrale associ´ ee `a notre probl`eme, puis nous ´ etudions l’existence et l’unicit´ e de solutions par application du principe de contraction de Banach.