Etude théorique et numérique des équations différentielles stochastiques

Abstract

Notre m´emoire se concentre sur l’aspect th´eorique et pratique des ´equations diff´erentielles stochastiques (EDS). Chacun des chapitres aborde des points cl´es essentiels : Dans le premier chapitre, le calcul stochastique est introduit avec l’´etude de la Variation Quadratique du Mouvement Brownien, suivie de la d´efinition de la variation quadratique. L’Int´egrale de Riemann-Stieltjes est ´egalement abord´ee, en tant qu’introduction aux int´egrales stochastiques, qui sont cruciales pour traiter les processus non diff´erentiables comme le mouvement brownien. Enfin, la Formule d’Itˆo est pr´esent´ee, avec ses applications unidimensionnelles et multidimensionnelles. Le deuxi`eme chapitre se penche sur les Equations Diff´erentielles Stochastiques ´ (EDS), en discutant des conditions d’existence et d’unicit´e des solutions. Il traite ´egalement des EDS Lin´eaires et R´etrogrades, en discutant des th´eor`emes cl´es, des conditions n´ecessaires et des estimations `a priori. Le troisi`eme chapitre aborde la Simulation Num´erique, en commen¸cant par des algorithmes pour simuler le mouvement brownien, avec des exemples de trajectoires discr´etis´ees. Il pr´esente ensuite des techniques pour simuler les int´egrales d’Itˆo, ainsi que des algorithmes , en incluant les erreurs associ´ees aux approximations. Ce m´emoire offre ainsi une analyse approfondie et des techniques pratiques pour travailler avec les processus stochastiques et les EDS, qui sont essentielles pour les applications en math´ematiques appliqu´ees et en finance.