Résumé:
Notre m´emoire se concentre sur l’aspect th´eorique et pratique des ´equations
diff´erentielles stochastiques (EDS).
Chacun des chapitres aborde des points cl´es essentiels :
Dans le premier chapitre, le calcul stochastique est introduit avec l’´etude de la
Variation Quadratique du Mouvement Brownien, suivie de la d´efinition de la variation quadratique. L’Int´egrale de Riemann-Stieltjes est ´egalement abord´ee, en tant
qu’introduction aux int´egrales stochastiques, qui sont cruciales pour traiter les processus non diff´erentiables comme le mouvement brownien. Enfin, la Formule d’Itˆo
est pr´esent´ee, avec ses applications unidimensionnelles et multidimensionnelles.
Le deuxi`eme chapitre se penche sur les Equations Diff´erentielles Stochastiques ´
(EDS), en discutant des conditions d’existence et d’unicit´e des solutions. Il traite
´egalement des EDS Lin´eaires et R´etrogrades, en discutant des th´eor`emes cl´es, des
conditions n´ecessaires et des estimations `a priori.
Le troisi`eme chapitre aborde la Simulation Num´erique, en commen¸cant par
des algorithmes pour simuler le mouvement brownien, avec des exemples de trajectoires discr´etis´ees. Il pr´esente ensuite des techniques pour simuler les int´egrales
d’Itˆo, ainsi que des algorithmes , en incluant les erreurs associ´ees aux approximations.
Ce m´emoire offre ainsi une analyse approfondie et des techniques pratiques
pour travailler avec les processus stochastiques et les EDS, qui sont essentielles
pour les applications en math´ematiques appliqu´ees et en finance.
