étude, dans le cadre holdérien, d'un problème de potentiel Èlectrostatique dans un cylindre hétérogène

Abstract

Ce mÈmoire síintÈresse ‡ líÈtude, dans le cadre holdÈrien, díune classe díÈquations di§Èrentielles abstraite de second ordre de la forme

u

00 (x) + Au (x) = g

(x) posÈ sur un domaine hÈtÈrogËne [1; ] ; lorsque A est un opÈrateur linÈaire de domaine D(A), non nÈcessairement dense, inclus dans un espace de Banach E quelconque. Si le domaine est composÈ de deux parties homogËne [1; 0[ et ]0; ] tels que ; + sont les coe¢ cients de la conductivitÈ des deux segments, cela induit ‡ la discontinuitÈ de u =

u

+ sur [0; ] u sur [1; 0] et g =

g

+ sur [0; ] g sur [1; 0] o˘ g

est supposÈ hˆldÈrien par morceaux i.e., g 2 C 2 ([1; 0] ; E); et g

+ 2 C 2 ([0; ] ; E); o˘ 0 < 2 < 1 Il síagit alors ‡ líÈtude díun problËme de transmission, en imposant des conditions de transmission sur líinterface f0g entre les deux segments, u

(0+) = u

(0); u

0 (0) =

u

0 (0+) tel que =

+ sur [0; ] sur [1; 0] et des conditions aux limites de type Neumann sur la frontiËre f1; g

u

0 ( ) = f

+;

u

0 (1) = f o˘ f

+ et f sont des ÈlÈments donnÈs dans E: Líobjectif de ce travail est líÈtude de líexistence, de líunicitÈ et de la rÈgularitÈ de la solution stricte de ce problËme abstrait, cíest-‡-dire cherchons une fonction u =

u; u +

vÈriÖe

u

+ 2 C 2 ([0; ] ; E) \ C ([0; ] ; D(A)) u 2 C 2 ([1; 0] ; E) \ C ([1; 0] ; D(A)) en plus cette solution ‡ la rÈgularitÈ maximale i.e., Au +;

u

+ 00 2 C 2 ([0; ] ; E) et Au;(u) 00 2 C 2 ([1; 0] ; E) Ce type des problËmes issus de certain modËles concrets de la physique posÈs sur des domaines cylindriques. On peut considÈrer, par exemple, le problËme du potentiel Èlectrostatique, rÈgi par líÈquation suiv