Résumé:
Ce mÈmoire síintÈresse ‡ líÈtude, dans le cadre holdÈrien, díune classe díÈquations di§Èrentielles abstraite de second ordre de la forme
u
00
(x) + Au
(x) = g
(x)
posÈ sur un domaine hÈtÈrogËne [1; ] ; lorsque A est un opÈrateur linÈaire de domaine
D(A), non nÈcessairement dense, inclus dans un espace de Banach E quelconque.
Si le domaine est composÈ de deux parties homogËne [1; 0[ et ]0; ] tels que ; + sont les
coe¢ cients de la conductivitÈ des deux segments, cela induit ‡ la discontinuitÈ de
u
=
u
+ sur [0; ]
u sur [1; 0] et g
=
g
+ sur [0; ]
g sur [1; 0]
o˘ g
est supposÈ hˆldÈrien par morceaux i.e.,
g 2 C
2
([1; 0] ; E); et g
+ 2 C
2
([0; ] ; E); o˘ 0 < 2 < 1
Il síagit alors ‡ líÈtude díun problËme de transmission, en imposant des conditions de transmission sur líinterface f0g entre les deux segments,
u
(0+) = u
(0);
u
0
(0) =
u
0
(0+)
tel que
=
+ sur [0; ]
sur [1; 0]
et des conditions aux limites de type Neumann sur la frontiËre f1; g
u
0
( ) = f
+;
u
0
(1) = f
o˘ f
+ et f sont des ÈlÈments donnÈs dans E:
Líobjectif de ce travail est líÈtude de líexistence, de líunicitÈ et de la rÈgularitÈ de la
solution stricte de ce problËme abstrait, cíest-‡-dire cherchons une fonction u
=
u; u
+
vÈriÖe
u
+ 2 C
2
([0; ] ; E) \ C ([0; ] ; D(A))
u 2 C
2
([1; 0] ; E) \ C ([1; 0] ; D(A))
en plus cette solution ‡ la rÈgularitÈ maximale i.e.,
Au
+;
u
+
00
2 C
2
([0; ] ; E) et Au;(u)
00 2 C
2
([1; 0] ; E)
Ce type des problËmes issus de certain modËles concrets de la physique posÈs sur des domaines
cylindriques. On peut considÈrer, par exemple, le problËme du potentiel Èlectrostatique, rÈgi
par líÈquation suiv
