Analyse mathématique d’un système d’équations non linéaires á temps discret: Application á la Covid-19

Abstract

Cette thèse repose sur deux modèles mathématiques appliqués à la COVID-19. Le premier est un modèle SEIR à temps discret intégrant la vaccination, et le second, un modèle en métapopulation tenant compte de la mobilité entre patchs. Pour le 1er modèle, le nombre de reproduction vaccinal 𝑅𝑣 a été calculé à l’aide de la méthode de la matrice de la nouvelle génération. Deux points d’équilibre ont été identifiés : l’équilibre sans maladie, qui est localement asymptotiquement stable si 𝑅𝑣 < 1, et l’équilibre endémique qui est localement asymptotiquement stable si 𝑅𝑣 > 1. Une analyse de sensibilité et des simulations ont montré que le taux de transmission et les taux de guérison influencent fortement la dynamique épidémique, et que le non-respect des mesures de protection non pharmaceutiques ainsi qu’une mauvaise prise en charge augmentent le nombre d’infections et de décès. Pour le modèle en métapopulation, le nombre de reproduction vaccinal a été estimé par la même méthode, la méthode de la matrice de la nouvelle génération, et l’équilibre sans maladie a été calculé, il a été prouvé qu’il est globalement stable si 𝑅𝑣 < 1. Les simulations numériques révèlent l'influence déterminante des mouvements de population et de la connectivité de patchs sur la dynamique de transmission de la COVID-19.