Problèmes de Di¤usion avec Interfaces et Applications Concrètes

Abstract

يكرس هذا العمل لدراسة بعض مشاكل التشتت التي تصف ديناميكيات السكان في ثلاثة موائل (بما في ذلك ملجأ واثنين غير مواتيين) والتي تشمل السلوكيات الفردية على الحدود بين المناطق. يتم تشكيل هذه المشاكل من خلال المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة. ويطلق على هذا النوع من العمليات حركة براونية منحازة .. مع الأخذ بعين الاعتبار الهندسة الأسطوانية للبقع أو الموائل ، يتبين أن الطريقة التي تتكيف بشكل أفضل هي الطريقة التي تستخدم نظرية المعادلات التفاضلية مع معاملات المشغل تستند التقنيات المستخدمة هنا بشكل أساسي على نظرية المجموعات شبه ، والقدرات التجزيئية للمشغلين الخطيين ، ومساحات الاستكمال الداخلي ، و حساب التفاضل والتكاملات للمشغلين القطاعيين. في الخطوة الأولى: تسمح لنا دراسة الوجود والوحدة والانتظام الأقصى لحل المشكلة الخطية الثابتة بالحصول على الشروط الضرورية والكافية على البيانات على مستوى الواجهات البينية. الخطوة الثانية مكرسة لدراسة الناتجة عن عملية التشتت في موطنين مع حالة تشتت مستمر في الواجهة. في الخطوة الأخيرة ، نجعل الدراسة الطيفية للمشكلة الأولية مهمة للغاية لتحليل مشكلة التطور الكاملة

******************************************************************************************************* Ce travail est consacré à l'étude de certains problèmes de dispersion décrivant une dynamique de population dans trois habitats (dont un refuge et deux défavorables) et qui incluent des comportements individuels aux frontières entre les régions. Ces problèmes sont modélisés par des équations aux dérivées partielles de type parabolique. Ce genre de processus est appelé mouvement brownien biaisé. Tenant compte la géométrie cylindrique des patchs ou des habitats on montre que la méthode qui s'adapte le mieux est celle qui utilise la théorie des équations différentielles à coefficients opérateurs. Les techniques utilisées ici sont basées essentiellement sur la théorie des semi-groupes, les puissances fractionnaires d'opérateurs linéaires, les espaces d'interpolation, et le H-infini- calcul pour les opérateurs sectoriels. Dans une première étape: l'étude de l'existence, l'unicité et la régularité maximale de la solution du problème linéaire stationnaire nous permet d'obtenir des conditions nécessaires et suffisantes sur les données aux niveaux des interfaces. La deuxième étape est consacrée à l'étude de l'analycité du C₀-semi-groupe généré par le processus de dispersion dans deux habitats avec une condition de dispersion continue à l'interface. Dans la dernière étape on fait l'étude spectrale du problème initial qui est très importante pour l'analyse du problème complet d'évolution. *******************************************************************************************************

This work is devoted to the study of some dispersal problems describing a population dynamics in three habitats (including a refuge and two unfavorable ones) and which include individual behaviors at the borders between the regions. These problems are modeled by parabolic partial differential equations. This kind of process is called skew Brownian motion. Taking into account the cylindrical geometry of patches or habitats, it is shown that the method that best adapts is that which uses the theory of differential equations with operator coefficients. The techniques used here are based essentially on the theory of semi-groups, the fractional powers of linear operators, the interpolation spaces, and the H-infini- calculus for sectorial operators. In a first step: the study of the existence, the unicity and the maximum regularity of the solution of the stationary linear problem allows us to obtain necessary and sufficient conditions on the data at the level of the interfaces. The second step is devoted to the study of the C₀-semi-group analycity generated by the dispersion process in two habitats with a continuous dispersal condition at the interface. In the last step we make the spectral study of the initial problem which is very important for the analysis of the complete problem of evolution.