Étude de l’existence et de la régularité des solutions de l’équation de diffusion d’ordre fractionnaire par rapport au temps

Abstract

Ce mémoire est consacré a l’étude de l’existence, l’unicité et la régularité de la solution d’un problème de diffusion d’ordre fractionnaire par rapport autemps qui est donné par :  α −1 1 0 ¢ ¡  Trouver u ∈H 0,T;H (Ω),H (Ω) telle que  R α 0,t −∆u = f 2 −1 ¡ ¢ dans L 0,T;H (Ω) D u (3.31) 2  (g −α ∗u)(0) = ν dans L (Ω).  1 Nous avons utilisée les dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville généralisées et laméthode de Galerkin pour établir les deux résultats suivants : Théorème (Existence et unicité) 2 −1 1 0 ¡ ¢ Soient f ∈ L 0,T;H (Ω) et ν ∈H (Ω), alors • Si α ∈ ,1 , le problème (3.1)admet une unique solution. • Si α ∈ 0, 1 2 ¤ £ 1 2 ¤ £ , i) Si ν = 0, le problème (3.1)admet une unique solution. ii) Si ν 6= 0, le problème (3.1) n’admet pas de solution. Théorème (Régularité) d 2 2 Soient α ∈]0,1[, ΩΓun ouvert borné de R , f une fonction de L (0,T;L (Ω)), et ν appartient 1 0 à H (Ω). 1 22 (i) Si α ∈] ,1[ alors on suppose que Aν est dans L (Ω) ; (ii) Si α ∈]0, ] alors on suppose que ν = 0. 1 2 Alors la solution u du problème (3.1) vérifie R α 0,t ∈ L D u +Au = f in L (0,T;L (Ω)). 2 2 (0,T;L (Ω))