Optimisation sans contraintes

Abstract

Ce cours est une introduction à l’optimisationmathématique continue en dimension finie. Il est destiné aux étudiants de la troisième année licence mathématiques. Le docu- ment estcomposé des chapitres suivants : – Rappel sur le calcul différentiel – Analyse convexe – Résultats d’existence et d’unicité – Conditions d’optimalités – Méthodes du gradient – Méthode de Newton. L’origine du mot optimisation vient du latin optimum qui veut dire le meilleur. Dans le dictionnaire Larousse, le mot optimiser est défini par : Donner à quelque chose, à une machine, à une entreprise, etc., le rendement optimal en créant les conditions les plus favo- rables ou en en tirant lemeilleur parti possible. Enmathématiques, un problème d’optimisation consiste àminimiser (oumaximiser) une fonction à une seule variable (ou à plusieurs variables ) sur un ensemble donné. La formulation d’un tel problème passe par trois étapes : Etape I : Identifier les variables de décision, qui sont les paramètres du problème sur les- T quels on peut agir. On les représente par un vecteur colonne x = (x ,x , . . . ,x ) ∈ n 1 2 n R . Etape II : Identifier une fonction mathématique (une mesure) pour laquelle on cherche la plus petite valeur ou la plus grande valeur et qui s’appelle par la suite fonction objectif ou fonction de coût qui est notée f . Etape III : Décrire les limitations sur les variables de décision.