Etude d'une classe d'équations différentielles d'ordre fractionnaires

Abstract

Le calcul fractionnaire est un sujet presque ancien que le calcul classique tel que nous le siècle, l’époque où IsaacNewton et GottfriedWihelm Leibniz ont développé les fondements de calcul différentiel et intégral. d f eme connaissons aujourd’hui. Ses origines remontent à la fin du 17n eme pour désigne là n dérivée d’une fonction En particulier, Leibniz présenté le symbole d tf . Quand il a annoncé dans une lettre à l’Hôpital (apparemment avec l’hypothèse implicite que d f n 1si n= ? n ∈N ), l’Hôpital a répondu : Que signifie d t 2 "Cela conduirait à un paradoxe à partir duquel un jour, on pourra tirer des conséquences utiles" [Oldham et Spanier, 1974 [18]. Cette lettre de l’Hôpital, écrite en 1695 , est aujourd’hui admise comme le premier incident de ce que nous appelons la dérivation fractionnaire, et le fait que 1 l’Hôpital a demandé spécifiquement pour n = , c’est-à-dire une fraction (nombre rationnel) a 2 en fait donné lieu aunom de cette partie desmathématiques. Récemment, il y a nombreuses de dérivée fractionnaires qui ont été introduites. On cite par exemple les dérivations fractionnaires suivantes : dérivée de Riemann-Liouville, de Caputo et de Hilfer [22, 13, 25]. Les théorèmes du point fixe sont les outilsmathématiques de base,montrant l’existence des solutions dans divers types d’équations, la théorie de point fixe est le cœur de l’analyse non li- néaire puisqu’elle fournit les outils nécessaires pour avoir des théorèmes d’existence dans nom- breux problèmes non linéaires [3, 2, 10]. Il y a deuxmesures qui sont les plusimportantes. lamesure de non-compacité de Kuratowski et celle de Hausdorff. Plusieurs auteurs ont utilisé la technique de la mesure de non-compacité dans les espaces de Banach pour prouver le résultat d’existence de certains problèmes différen- tiels, voir, parexemple, les livres [6, 11] et leurs références. Les équations différentielles fractionnaires apparaissent comme une description naturelle de nombreux phénomènes d’évolution dans le monde réel. La majorité des processus dans les divers sciences appliquées (la biologie, la biophysique et le génie biologique) sont représentés par des équations différentielles fractionnaires [19, 14].